הסתברות - סיכום קורס ממוקד

© Igor Kleiner igkleiner@gmail

סיכום שימושי ונוח

מפת נושאים (תוכן עניינים)

2.4 הסתברות מותנית

מוטיבציה וסימון

מוטיבציה

לפעמים נרצה לחשב הסתברות של מאורע, כאשר יש לנו מידע נוסף שכבר קרה. למשל: מה ההסתברות שיגיע אוטובוס בדקה הקרובה, בהינתן שלא עבר אוטובוס כבר 10 דקות?

הגדרה פורמלית

הגדרה

ההסתברות של מאורע $A$ בהינתן שמאורע $B$ התרחש (כאשר $P(B) > 0$), מסומנת ב- $P(A|B)$ ומוגדרת כך:

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$
דוגמה

במשפחה שני ילדים. ידוע שלפחות אחד מהם הוא בן. מה ההסתברות שבמשפחה 2 בנים?
מרחב המדגם כולו: $\{BB, BG, GB, GG\}$.
המאורע $B$ (לפחות בן אחד): $\{BB, BG, GB\}$. (הסתברות 3/4)
המאורע $A \cap B$ (שני בנים): $\{BB\}$. (הסתברות 1/4)
$$P(A|B) = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$$

המשך 2.4: כלל השרשרת (Chain Rule)

הרחבת ההסתברות המותנית

מוטיבציה

אנו יכולים להשתמש בנוסחת ההסתברות המותנית כדי לחלץ את ההסתברות לחיתוך (שני אירועים שקורים יחד), על ידי כפל.

הגדרה

מתוך הגדרת ההסתברות המותנית, נובע הכלל לשני מאורעות:

$$P(A \cap B) = P(A)P(B|A)$$

הכלל ניתן להכללה ליותר מאורעות, למשל ל-3 מאורעות:

$$P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B|A)P(C|A \cap B)$$
דוגמה

שולפים שני קלפים מקריים מחפיסה (52 קלפים). מה ההסתברות ששניהם אדומים?
$R_1$ = קלף ראשון אדום (הסתברות $26/52$).
$R_2|R_1$ = קלף שני אדום בהינתן שהראשון היה אדום (נשארו 25 אדומים מתוך 51 קלפים).
$$P(R_1 \cap R_2) = P(R_1)P(R_2|R_1) = \frac{26}{52} \cdot \frac{25}{51}$$

2.5 אי־תלות בין מאורעות

הגדרה ותנאים

מוטיבציה

האם ידיעה שמאורע אחד התרחש משנה את ההסתברות שמאורע אחר יתרחש? אם לא, המאורעות בלתי תלויים (ב"ת).

הגדרה

שני מאורעות $A$ ו-$B$ נקראים בלתי תלויים אם ורק אם מתקיים:

$$P(A \cap B) = P(A)P(B)$$

לחלופין (אם $P(B)>0$), התנאי השקול הוא: $P(A|B) = P(A)$.
הערה: אי-תלות אינה שקולה ל"מאורעות זרים". יש לבדוק אי-תלות תמיד בצורה פורמלית מתמטית.

דוגמה מהחיים (סאלי קלארק)

הנחה שגויה של אי־תלות יכולה להיות הרסנית! בבריטניה, אישה בשם סאלי קלארק הואשמה ברצח שני ילדיה התינוקות (מקרי מוות בעריסה - SIDS). התביעה טענה שההסתברות ששני ילדים מאותה משפחה ימותו ממוות בעריסה באופן טבעי היא $(1/8500)^2$, כלומר כ-1 ל-73 מיליון. החישוב הזה שגוי כי הוא מניח שהמקרים הם בלתי תלויים, אך למעשה יש השפעה גנטית וסביבתית משותפת לאותה אמא! התעלמות מהתלות הובילה להרשעת שווא.

אי־תלות של יותר משני מאורעות

כדי ש-3 מאורעות ($A, B, C$) יהיו ב"ת, הם צריכים להיות בלתי תלויים בזוגות, ובנוסף לקיים:

$$P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$$

2.6 נוסחת ההסתברות השלמה

חלוקת מרחב המדגם ופתרון בעזרת עצים

מוטיבציה

אסטרטגיית "הפרד ומשול". במקום לחשב הסתברות של מאורע קשה, אנו מפצלים את המרחב למקרים (תנאים) שונים ופשוטים יותר, ומחברים את ההסתברויות.

הגדרה

אם $H_1, H_2, ..., H_n$ הם חלוקה של מרחב המדגם (זרים זה לזה ומכסים את כולו), אזי ההסתברות למאורע $A$ כלשהו מחושבת כך:

$$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|H_i)P(H_i)$$
דוגמה פשוטה

בוחרים באקראי את אחד מ-2 כדים (הסתברות 1/2 לכל כד). בכד 1 יש כדור לבן ו-2 שחורים ($P(W|H_1) = 1/3$).
בכד 2 יש 4 כדורים לבנים ו-3 שחורים ($P(W|H_2) = 4/7$).
מה ההסתברות לשלוף כדור לבן ($A$)? $$P(A) = P(H_1)P(A|H_1) + P(H_2)P(A|H_2) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\cdot\frac{4}{7}$$

הדגמה אינטראקטיבית: מחשבון הסתברות שלמה (2 מקרים)

שנה את ההסתברות לבחירת ענף 1, ואת ההסתברויות המותנות בכל ענף כדי לראות את ההשפעה על התוצאה הסופית.

($P(H_2)$ יהיה המשלים שלו)

חישוב ההסתברות הכוללת $P(A)$:
$$P(A) = 0.50 \cdot 0.30 + 0.50 \cdot 0.80 = 0.550$$

מילון מושגים

הסתברות מותנית (Conditional Probability)

הסיכוי שמאורע התרחש בהינתן מידע ודאי שמאורע אחר התרחש.

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

כלל השרשרת (Chain Rule)

חוק המאפשר חישוב חיתוך מאורעות על ידי הכפלת הסתברויות מותנות רציפות.

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

אי־תלות (Independence)

מצב בו התרחשות מאורע אחד אינה משנה כלל את הסיכוי להתרחשות מאורע שני.

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

חלוקת מרחב מדגם (Partition)

אוסף מאורעות זרים (החיתוך שלהם ריק) שאיחודם הוא כל מרחב המדגם $\Omega$.

$\bigcup H_i = \Omega , \; H_i \cap H_j = \emptyset$

שאלות בדיקה עצמית

1. ידוע כי $P(A) = 0.5$, $P(B) = 0.4$ ו- $P(A \cap B) = 0.2$. האם המאורעות $A$ ו-$B$ בלתי תלויים?

2. מה המטרה המרכזית של "נוסחת ההסתברות השלמה"?

3. על פי כלל השרשרת, למה שווה $P(A \cap B \cap C)$?